在实际生活中，具有大量相互重叠的各种集合的问题，因此我们利用容斥原理来求解，在平面几何、组合计数、集合等方面具有很高的效率。

[题型精讲]

运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1~100,选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？

A.46   B.47

C.53   D.54   

解析：读题“运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1~100,选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列”则此题为典型的集合容斥问题，开幕、闭幕、两者都参加、两者都不参加四个关系组成这100的人整个集合。100/3=33……1，则参加开幕式的有33人；100/5=20,参加闭幕式的有20人。3与5的最小公倍数为15,100/15=6……10,同时是3和5的倍数的共有6人（既参加开幕式又参加闭幕式）。因此参加仪式的有33+20-6=47人，不参加开幕式与闭幕式的有100-47=53人，因此该题应该选择C。

[题型精讲]

某学校五年级共有若干人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组。经统计，参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人；三组都参加的有8人。问五年级共有多少人？

A.140   B.130  

C.120   D.110

解答：此题与上题基本一致，只是该题有的地方和上题不一样，就是该题没有不参加任何小组的并且该题的参加多种活动的人员信息比较隐晦。

读题“参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人”则

参加语文的也参加数学或英语的有52-16=36人；

参加英语的也参加语文或数学的有61-15=46人；

参加数学的也参加语文或英语的有63-21=42人。

上述为重复计算的部分。

则参加两种及两种以上小组的有（36+46+42-8）/2=116/2=58。

所以16+15+21+58=110人，因此该题答案应该选择Ｄ。

[题型精讲]

18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加。这18名游泳运动员中，只参加1个项目的有多少名？

A.5   B.6

C.7   D.4

解答：读题“18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加”则我们只要把参加两种及以上运动项目的计算出来，然后用１８去减就可以得出只参加１个项目的人数了。

而两种及以上运动项目参加人数为参加两种运动项目的人数和再剔除参加三种运动项目的人数，即为4+5+6-2-2＝11名。所以得参加两种及以上运动项目的人数一共为１１人，所以参加一种运动的人数有18-11＝7人，所以该题答案应该选择Ｃ。

[题型精讲]

为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中，参加合唱活动的有189人，参加象棋活动的有152人，参加羽毛球活动的有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人。该单位的职工人数为：

A.233   B.252  

C.321   D.520

解答：此问题为典型的三个事物的容斥问题，所以我们只需要将该问题的各个部分分析清楚，然后按照计算公式进行计算就可以。读题“参加合唱活动的有189人，参加象棋活动的有152人，参加羽毛球活动的有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人”因此，我们把分别参加三种活动的人数相加，减去参加两种活动的，再减去2倍的参加三种活动的，然后再加上一种活动不参加的，即得到所求答案。所以189+152+135-130-69-69+44=252.所以该题答案应该选择B。

[真题讲解]-2009年度国家公务员录用考试《行政职业能力测试》第116题

如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重

兹放在一起盖在桌而上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少？

A.15   B.16

C.14   D.18

解析：读题“X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌而上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36”则画出图。如图所示，x+y+z-相互重叠的部分即为整体，所以我们根据性质得64+180+160-24-70-36+阴影面积=290（此时阴影面积分别在24、70和36中包含，三者被减去后，阴影面积就不包含在图中了，因此要再加上）解得阴影面积为16，所以该题应该选择B。