米粒教育，与你共同进步。这一讲是公务员考试数学运算部分的第三讲，主要内容是利用质数和合数特性快速求解问题。

上一讲留的思考题，不知道大家回去考虑了吗？我们再来看看这道题。

【思考题】某年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人;不算丁班其余三个班的总人数是134人;乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人?( )

A.177          B.176

C.266          D.265

该题有两种解题思路，一种解题思路是通过已知量和未知量的关系列方程求解，设置未知数，列出等式，求解方程。这种解题思路虽然能解决问题，但比较耗费时间，有一定的运算量。另外一种解题思路是利用两数之差是奇数，两数之和也必为奇数的规则来快速求解。

我们看题干内容，特别要注意标红加粗的这句话“乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人”，这句话也可以这么说“乙、丙两班的总人数和甲、丁两班的总人数差为1人”，可以进一步理解为两数的差为1，1位奇数，根据奇偶加减法原则，两数的差为奇数，两数的和一定为奇数，因此，我们“乙、丙两班的总人数和甲、丁两班的总人数差为1人”可以直接推出乙、丙两班的总人数和甲、丁两班的总人数之和必为奇数，也就是四个班的总人数之和必为奇数，由此可以直接排除B、C两项。

剩下的A、D两项都是奇数，A项是177人，D项是265人，如何确定哪项是正确的？我们再看题干内容，特别要注意加红标粗的这句话“不算甲班其余三个班的总人数是131人;不算丁班其余三个班的总人数是134人”，注意除去甲班另外三个班的总人数是131人，除去丁班另外三个班的总人数是134人，由此可以推出四个班的总人数不可能超过200人，可以直接排除D项，因此A项当选。

该题可以通过解方程求解，但如果我们灵活思考一下，就可以利用奇偶运算法则快速求解，为我们节约做题时间。

掌握了奇偶运算法则可以帮助我们快速解题，掌握质数和合数以及质因数分解同样可以帮助我们快速求解。

我们先说个有关质数的故事，质数也称为素数。为了弄清哪些数是素数，公元前300多年，希腊学者埃拉托色尼提出了一种方法——著名的素数筛选法。若造一张1到50的素数表，首先写上1到50各自然数，然后划去1，把2留下，再划去2的倍数，把3留下，再划去3的倍数，把5留下，再划去5的倍数…….. 以此类推，可以得到50以内的所有素数。

只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，也称素数。例如：2、3、5、7、11、13、17、19等。2是质数里面唯一的偶数，其他的质数均为奇数。如果一个自然数不仅能被1整除，还能被别的数整除，就叫合数。例如：4、6、8、10、12、14、16等。1既不是质数，也不是合数。每个合数都可以表示成一些质数的乘积。例如合数10可以表示为质数2*5的乘积，

在公务员行测数学运算部分，可能会碰到如下所述的题型，题干内容如下所述：

【例】一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和?”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子?

从题干内容可以看出，题干内容给出了三个孩子年龄和母亲年龄的乘积，求母亲在多大时，才生下第二个儿子?该题只要求出三个孩子的年龄和母亲的年龄，就可以求出答案。如何求三个孩子的年龄和母亲的年龄?我们现在已经知道了三个孩子的年龄和母亲的年龄的乘积，三个孩子的年龄和母亲的年龄一定是该乘积的某一个因数，因此我们可以先对该乘积进行质因数分解，如果分解后的因式只有4个因数，则这4个因数按大小排列分别为母亲、大哥和两个弟弟的年龄，如果多余4个因数，需要将其整理为只有4个因数的因式，知道了三个孩子和母亲的年龄，就可以求出答案了。

解题的关键就是要对三个孩子年龄和母亲年龄的乘积进行质因数分解，质因数分解通常采用短除法，其分解过程是从最小的质数开始除要分解的数，直到不能除尽，然后换更大的质数继续这一操作，如此循环，直到不能继续分解为止。现在我们对三个孩子年龄和母亲年龄的乘积进行质因数分解。

我们先求出三个孩子年龄和母亲年龄的乘积，运算得知，乘积为27090。27090用最小的质数2去除，结果得13545，13545是合数，继续分解13545，13545不能被最小的质数2整除，尝试用质数3，结果得4515，4515是合数，继续分解4515，4515可以被质数3整除，结果得1505，1505是合数，继续分解1505，质数2、3都不能被1505，5可以被1505整除，结果得301，301可以被7整除，结果得43，43是质数，至此乘积27090质因数分解完毕，27090的质因式为27090 = 2*3 *3*5*7*43。

质因数短除法分解过程就是先用最小的质数2去除要分解的合数，如果不能被整除，再选择质数3去除，如果不能被整除，再选择质数5去除，依次类推，直到整除的结果为质数后，就完成了质因数的分解。

我们把质因式整理得27090 = 43 * 7 * 5 * 3 * 3 * 2，该质因式6个因数，前面我们说到了因式如果多余4个因数，需要将其整理为只有4个因数的因式，根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”这个已知条件，合并因式的因数，7与2合并，3与3合并，合并后的因式为27090 = 43 * 14* 5 * 9，这个质因式中14就是9与5之和。所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。母亲与第二个儿子的年龄为43-9=34(岁)。类似这样的题都可以用质因式分解来求解。

前面介绍了通过质因数分解的解题思路，我们来做个练习。题干内容如下所述：

【例】4个连续的自然数的乘积是3024，求这四个数的和？

对乘积3024进行质因数分解，用最小的质数2去除，结果得1512，再用2去除，结果得756，以此类推，3024分解后的质因式为：

3024 = 2 X 2 X 2 X 2 X 3 X 7 X 3 X 3

根据已知条件“4个连续的自然数”，重新组合质因式，3个2组合得8，2和3组合得6，3和3组合得9，7无需组合，组合完成后正好是4个连续的自然数相乘：

3024 = 6 X 7 X 8 X 9，因此四个数的和为30。

通过质因数分解可以求得一个数的正约数个数，利用正约数个数解题在公务员行测考试中也经常遇到，正约数的个数是指一个大于1的正整数能被其它整数整除的个数。例如：15首先能被1和自身整除，及1、15 。再考虑2，显然不行，随后考虑3，发现能整除，4也显然不行，以此类推。最后推出15的正约数有1、3、5、15。

如何通过质因数分解求一个数的正约数个数呢？首先把这个数分解质因数,得到一个分解公式，然后弄清楚有几种不同的质因数,每种质因数出现了几次,把每种质因数出现的次数分别加1,然后相乘的乘积就是这个数正约数的个数了。

我们来看个例子。例如：求125的约数个数。首先，我们对125质因数分解得125 = 5 * 5 * 5，质因式中只有一种质因数5,5出现了3次,那么所有约数=3+1=4个。125所有的正约数为1,5,25,125。

再来看个例子，例如360分解质因数后得360=2*2*2*3*3*5,分解后的质因式有三种质因数2/3/5,每种质因数分别出现了3次、2次、1次,所以360共有约数为（3+1）*（2+1）*（1+1）=24个。

根据上面两个例子,可以推出通过质因数分解求正约数个数的计算公式：

假设某数分解质因数后，有质因数n种,分别为X1,X2,X3...Xn,每种质因数分别出现了a1,a2,a3...an次,那么该数的正约数个数=（X1+1）*（X2+1）*（X3+1）* …… *（Xn+1）。

我们看一个例题：

【例】设有编号为1、2、3...10的10张背面向上的纸牌，现有10名游戏者，第1名游戏者将所有编号能够被1整除的纸牌翻成另一面向上的状态，接着第2名游戏者将所有编号能够被2整除的纸牌翻成另一面向上的状态……第n(n<=10)名游戏者，将所有编号能够被n整除的纸牌翻成另一面向上的状态，如此下去，当第10名游戏者翻完纸牌后，那些纸牌正面向上的最大编号与最小编号的差是：

A.2     B.4

C.6     D.8

我们考虑一下，一张牌分为正面和背面，开始游戏的时候所有的纸牌都是背面向上的，而某一张牌如果被翻动奇数次，则正面向上；如果翻动偶数次，则依然是背面向上。所以经过分析之后我们就可以将这个问题进行化简，也就是这个题求解的实质是对约数个数的考査。所以根据 1~10每个数字的约数个数可知：数字1的纸牌能够被翻动1次，数字为2、3、5、7的纸牌分别都能够被翻动2次，数字为4、9的纸牌都分别能被翻动3次，而数字为6、8、10的纸牌分别能被翻动4次。由此我们可以将奇数次的挑出来，然后我们可知正面向上的最大的纸牌数是9,最小的是1，两者之间相差是8。所以该题答案应该选择D。

对本讲内容做一个小结，只能被1和自身整除不能被其他整数整除的数叫做质数。如3,只能被1和3整除，为质数。2作为质数里面唯一的偶数，其他的质数均为奇数。除了能被1和自身整除外，还可以被其他的整数整除的数叫合数。如8,除了能被1、8整除外，还能被2、4整除，因此8是一个合数。

【思考题】张大伯卖白菜，开始定价为每千克5角钱，一点都卖不出去，后来每千克降低了几分钱，全部白菜很快就卖了出去，一共收入22.26元，则每千克降低了几分钱?

A.3    B.4   C.6   D.8