1、由七桥问题了解数学建模

在德国的哥尼斯堡有一条河从城市穿过，河中有两个小岛，有七座桥把河中的两个小岛与河两岸联系起来。

有人提出一个问题，就是一个人如何从桥的一端开始，顺序走过每一座桥，每一座桥仅走一次，最后再回到起点。

问题提出后，很多人就开始尝试求解这个问题，求解问题的方法就是在每座桥上走来走去，试图每座桥仅走一次，并且走过全部的七座桥，最终还要回到起点。

很多人走了无数次，都没有找到一种走法来解决上面的问题。于是有人就找到了数学家欧拉。

欧拉解决七桥问题的方法和其他人不一样，他并不去桥上走来走去，而是按照桥和两岸的布局绘制了一个几何图形。

图中的A和B是河上的两座小岛，C和D是河的两岸。

A岛和河的两岸分别有两座桥相连，因此A点和C点、A和D点用直线连接，A岛和B岛有一座桥相连，因此A点和B点用直线连接。

B岛和河的两岸分别有两座桥相连，因此B点和C点、B和D点分别有两条线连接，为了区分两个顶点的两条连接线，连接线用狐线连接。

通过把七桥问题映射为几何图形，欧拉就把七桥问题转换为数学问题，这就是数学建模。数学建模将现实问题的求解，变成了数学问题的求解，七桥问题转变为求从图中的任意一个顶点出发，经过且仅经过一次图中所有的边，最后再回到原点的可能性。最后欧拉证明七桥问题没有解。

2、 闰年问题的提出

闰年比普通年份多一天，闰年是366天，普通年份是365天。有人就提出一个问题，有没有一种方法？可以判断任意一个年份为闰年。

3、建立判断闰年的数学模型

建立数学模型前，我们需要对问题进行深入地了解，搜集和观察与问题相关的数据，看看这些数据有没有规律。如果能够用数学符号，数学公式或者图形来描述这些规律，就能够对现实问题用数学语言进行抽象和量化，从而建立现实问题对应的数学模型、

由于数学模型是建立在假设的基础上，因此需要对建立的数学模型进行验证，如果模型有问题，就需要对数学模型再进行假设，然后再验证，如此循环往复，才能建立实用的数学模型。

如何建立闰年的数学模型呢？

我们可以搜集已知的闰年年份，将已知的闰年年份进行比对分析，看能不能找出年份与闰年之间的数学规律，即年份通过一定的数学运算可推导出该年份是否是闰年。

这里给出了16个闰年年份，数据量不大，主要是为了说明数学建模的过程。我们仔细观察16个数据，发现它们都是偶数，再进一步观察，发现它们都能被4整除。

现在假设年份被4整除的是闰年，这样就建立了闰年对应的数学模型：

由于数学模型是在假设的前提下建立的，因此还需要验证数学模型的正确性。我们可以编写程序来验证模型的正确性。例如，可以让程序输出1800年~2020年被4整除的所有年份，观察输出的年份是否都是闰年。

可以发现1800年、1900年都不是闰年，因此需要修改数学模型，因为1800年、1900年都是世纪年（一个世纪是一百年，世纪年通常是指连续的一百年），暂时把世纪年排除在数学模型外面。修改后的数学模型：

编写程序来验证模型的正确性，输出1800年~2020年所有的闰年，世纪年暂时排除在外，观察发现数学模型工作正确。

因为上面的数学模型排除了对世纪年的判断，因此还需要确定判断世纪年的数学模型。观察公元1世纪到公元21世纪的世纪年发现，只有被400整除的世纪年才是闰年。修改后的闰年数学模型为：

4、 编写程序求解模型

闰年数学模型的求解可以用程序来实现，模型有两个数学判断，一个数学判断是年份被4整除，且不能被100整除；另外一个数学判断是年份被400整除。

用Python函数来实现闰年数学模型的求解，函数流程图如下：

闰年数学模型代码如下：

# 定义判断闰年的函数leapYear
def leapYear(year):
    # 如果year被400整除，返回闰年
    if year % 400 == 0:
        return "闰年"
    # 如果year被4整除，且不能被100整除，返回闰年
    elif (year % 4 == 0) and (year % 100 !=0):
        return "闰年"
    # 如果前面条件都不满足，返回平年
    else:
        return "平年"

代码解读

函数传入参数year，year是整数类型，是需要判断闰年的年份。

函数首先判断year能否被400整除，若能被400整除，函数返回闰年。若不能被400整除，再继续判断year是否能被4整除，且不能被100整除，若是函数返回闰年。

如果year不满足前面的两种条件判断，函数返回平年。

主程序流程图如下：

判断闰年的完整代码如下：

'''
程序文件：main.py
功能描述：判断某一年是否是闰年
代码编写时间：2020/04/26
作者：编程训练营
'''
# 定义判断闰年的函数leapYear
def leapYear(year):
    # 如果year被400整除，返回闰年
    if year % 400 == 0:
        return "闰年"
    # 如果year被4整除，且不能被100整除，返回闰年
    elif (year % 4 == 0) and (year % 100 !=0):
        return "闰年"
    # 如果前面条件都不满足，返回平年
    else:
        return "平年"
 
# 程序入口
if __name__ == '__main__':
    while(True):
        # 等待用户输入
        year = input("请输入4位数的年份，或者输入quit退出程序：")
        # 判断year是否是年份
        if (year.isdigit()) and (len(year)==4):
            temp = leapYear(int(year))
            print("%s年是%s" % (year,temp))
        # 如果输入是quit,跳出循环
        elif year == "quit":
            break

代码解读

程序定义了函数leapYear，用于判断传入的年份是否是闰年。leapYear传入整数类型的年份，返回“闰年”或“平年”字符串。

代码需要判断用户输入的年份是否正确，判断用户输入的年份是否正确分为两种下面情况：

（1）   用户输入的内容全部是数字字符；

（2）   用户输入的内容长度为4个字符。

当上面两种情况都满足时，就认为用户输入的是正确的年份。代码使用and运算符连接两个关系表达式进行判断，当这两个关系表达式都成立时，if条件才能满足。

当用户输入正确的年份时，调用leapYear函数，并传入年份，最后输出函数返回的判断信息。