假设有非空向量集合V，V中有两个二维向量v1和v2：

v1和v2的线性组合在二维坐标系中可以充满整个坐标空间。

例如v1和v2可以线性组合为向量：

要使v1和v2线性组合为向量v3，只要求出标量t1和t2就可以了。

要求出t1和t2，将已知向量代入上面的算式：

由上可得下面的方程组：

解方程组得：

即：

依次类推，在二维坐标系中所有的实数点都可以由v1和v2线性组合的向量来表示。

v1和v2的线性组合会充满整个二维空间R2，也可以说R2空间内的所有向量都可以由v1和v2的线性组合来表示。

二维空间R2就称为二维向量空间，向量空间对空间内向量的所有线性组合封闭，向量空间内所有向量的线性组合都会在R2向量空间内。

同理，假设有非空向量集合V，V中有三个三维向量v1、v2、v3，并且v1、v2、v3不共线（任意两个向量不在一条直线上）。则v1、v2、v3的线性组合会充满整个三维空间R3，也可以说R3空间内的所有向量都可以由v1、v2、v3的线性组合表示，三维空间R3就称为三维向量空间。

依次类推，可以给出更高维的向量空间。

向量的张成空间

如果几个向量的线性组合在某一个向量空间中，如R2向量空间，并且该向量空间仅包括这几个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这几个向量的张成空间。

前面向量v1和v2的张成空间就是R2向量空间，表示如下：

在R2空间中，如果有两个向量a和b：

向量a和b方向相反并且共线，a和b共线就是向量a和b在一条直线上。我们来看a向量和b向量线性组合的张成空间。

标量2乘以向量a加上标量0.5乘以向量b的线性组合为：

标量0.5乘以向量a加上标量2乘以向量b的线性组合为：

实际上向量a和向量b的张成空间是一条直线，向量a和向量b的线性组合是向量a或向量b长度的缩放。