1、 关于矩阵

填数游戏我们以前都玩过，它是一个九宫格。要求在九宫格的空格里填数，使横行、竖行、斜行上的三个数的和等于18。

为了叙说方便，在原有九宫格的基础上加上序号，横向为行，纵向为列。横向从上到下依次为1、2、3行，纵向从左到右依次为1、2、3列。

用大写黑体字母A表示九宫格，用行号和列号来表示九宫格内每个格子的数。例如：A[2,1]的数为10，也就是第2行第1列的数为10；A[1,3]的数为7，也就是第1行第3列的数为7；A[2,2]的数为6，也就是第2行第2列的数为6。

简便起见，也可以以下标方式表示每个格子的数。例如：A2,1等同于A[2,1]；A1,3等同于A[1,3]；A2,2等同于A[2,2]。

准备工作做好后，现在可以开始解题了。我们注意到A的第二行A[2,1]和A[2,2]的数分别为8和6，A[2,3]只能填数2。 A[2,3]的数确定后，A[3,3]的数也会确定下来，A[3,3]的数是9。

同样的解题思路，可以依次算出A[1,1]、A[3,1]、A[1,2]、A[3,2]的数。

现在把九宫格的表格线去掉，行号和列号也去掉，让它变换成下面的样子。

去除表格线的九宫格，就是矩阵的样式。矩阵是由行和列组成的一组数表，矩阵使用大写黑体字母表示，矩阵中的元素使用行下标和列下标来表示。矩阵一般用下面的形式表示。

其中，大写黑体字母A是矩阵的标识名称，标识名称下面的3 X 3表示3行3列矩阵。矩阵A共有3 X 3=9个数，这9个数称为矩阵的元素，A[1,1]表示第1行第1列的元素，A[1,2]表示第1行第2列的元素，……，依次类推，A[3,3]表示第3行第3列的元素。矩阵A也可以表示为A33。

要在Numpy内构造矩阵，使用array()函数创建二维数组即可。

例1  使用Numpy数组构造矩阵A

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([[3,8,7],
         [10,6,2],
         [5,4,9]])

例2 矩阵的加法和减法运算

案例代码见课程资源（unit2\case09.py）

#定义矩阵A和B
A = [[-1,3,2],[5,7,-2],[-3,0,1]]
B = [[8,2,-1],[6,4,0],[-2,3,5]]
 
#定义矩阵C，存储A+B的结果
C = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]
 
#定义矩阵D，存储A-B的结果
D = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]
 
# 遍历A矩阵的行
for i in range(len(A)):
   # 遍历A矩阵的列
   for j in range(len(A[0])):
       C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]
       D[i][j] = A[i][j] - B[i][j]
 
#输出C矩阵
for r in C:
   print(r)
 
#输出D矩阵
for r in D:
   print(r)

例3 实现A矩阵与B矩阵的乘法运算。

案例代码见课程资源（unit2\case10.py）

import numpy as np
 
#定义矩阵A和B
A = np.array([[15,28,5],[12,31,6],[13,29,7]])
B = np.array([[4],[3],[2]])
 
#定义矩阵乘法运算函数
def matrixMul(A, B):
    #NumPy的matmul完成矩阵乘法运算
    C = np.matmul(A,B)
    return C
 
if __name__ == '__main__':
    C = matrixMul(A,B)
    print(C)
Numpy库的matmul()函数可以实现矩阵乘法运算。
例4 实现矩阵的转置运算
矩阵的转置比较容易理解，就是把矩阵的行列互换，行变成列，列变成行。
案例代码见课程资源（unit2\case11.py）
import numpy as np
#定义矩阵A
A = np.array([[1,1],[3,7],[11,5]])
 
#定义矩阵转置运算函数
def matrixTranspos(A):
  #创建矩阵C，矩阵C的默认元素都为0
  #矩阵C的行数为A矩阵的列数，列数为A矩阵的行数
  C = [[0] * len(A) for i in range(len(A[0]))]
  #NumPy的transpose完成矩阵A的转置运算
  C = np.transpose(A)
  return C
 
if __name__ == '__main__':
   
    C = matrixTranspos(A)
    print(C)

Numpy库的transpose()函数可以实现矩阵转置运算。

2、  向量

n X 1的矩阵称为列向量，1 X m的矩阵也称为行向量。行向量经过转置运算可以变换为列向量。下图是一个列向量：

向量在线性代数中使用小写的黑体字母表示，如α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，也可以在字母上面加一箭头表示。向量在几何中用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量是定义在实数（暂不考虑复数域）集合上的一组有序的特定值，有序是指这一组数中位置顺序不能颠倒，也不能互换，如果顺序颠倒或互换就是另外一个向量了。

上图中a向量和b向量是两个不同的向量。它是一个二维向量，每个向量有两个元素，每个元素称为向量的一个分量。a向量和b向量的元素数值就是单纯的实数，可以为向量元素赋予不同的意义。

例如：在二维坐标系中，向量a和b的元素就是二维坐标系中的坐标点，向量的第一个分量是x坐标，第二个分量是y坐标，a向量和b向量的几何表示如下图所示：

在三维坐标系中向量就需要三个分量来表示，下图是在三维空间中的向量a和b：

上图a和b向量的元素是三维空间中的坐标点。a向量的第一个分量是2，是三维空间的x坐标；a向量的第二个分量是1，是三维空间的y坐标；a向量的第三个分量是3，是三维空间的z坐标。同理，b向量的第一个分量是3，是三维空间的x坐标；b向量的第二个分量是0，是三维空间的y坐标；b向量的第三个分量是1，是三维空间的z坐标。

用向量也可以表示事物的一组特征。例如人的健康基本特征有体重、身高、血压（高压/低压）、脉搏，可以构建一个五维向量，来描述体重、身高、血压（高压/低压）、脉搏五个健康特征，人的体重、身高、血压（高压/低压）、脉搏的数值就是这个五维向量的五个分量。

构建的五维向量可以作为健康识别函数的输入，健康识别函数的输出为人的健康指标。下图是一个具有五个维度的健康特征向量：

在NumPy中，创建向量和创建矩阵是一样的，也是使用 NumPy的array函数来创建向量。

例5 向量的创建

案例代码见课程资源（unit2\case12.py）

#创建二维行向量row_a
row_a = np.array([[2,1]])
 
#创建五维列向量col_health
col_health =  np.array([[1.73],[65],[120],[82],[75]])
 
#创建五维行向量row_health
row_health =  np.array([[1.73,65,120,82,75]])
 
if __name__ == '__main__':
 
    #输出列向量col_a
    print("col_a=")
    print(col_a)
 
    #输出列向量col_a的维数
    print("col_a的维数：")
    print(col_a.shape)
 
    #输出行向量row_a
    print("row_a")
    print(row_a)
 
    #输出行向量row_a的维数
    print("row_a的维数：")
    print(row_a.shape)
 
    #输出行向量row_a的转置
    print("输出row_a的转置：")
    print(np.transpose(row_a))
 
    #输出列向量col_health
    print("col_health=")
    print(col_health)
 
    #输出列向量col_health的维数
    print("col_health的维数：")
    print(col_health.shape)

3、  解线性方程组

假如猪肉、牛肉、鸡蛋的价格在一周内不发生变化，记录近三周内的价格。为计算简单起见，价格都设定为整数。

设某个家庭每周对猪肉、牛肉、鸡蛋的需求分别为4千克、3千克、2千克，求这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支？

一般计算过程为：

第一周：15 X 4 + 28 X 3 + 5 X 2 = 154

第二周：12 X 4 + 31 X 3 + 6 X 2 = 153

第三周：13 X 4 + 29 X 3 + 7 X 2 = 153

现在把上面的数据用矩阵来表示，矩阵A表示猪肉、牛肉、鸡蛋三周的价格，矩阵B表示某个家庭每周的需求。

下面用线性方程组求解。

设某家庭近三周每周对猪肉、牛肉、鸡蛋的需求分别为x千克、y千克、z千克，已知近三周每周猪肉、牛肉、鸡蛋的价格和某家庭近三周每周的消费，求x、y和z。

可以列三元一次方程组：

15x + 28y + 5z = 154

12x + 31y + 6z = 153

13x + 29y + 7z = 153

可以把上面方程组的系数、未知数、常数用矩阵的方式来表示，这样就可以使用矩阵运算来求解方程组。

求解三元一次方程组的问题就变为：

已知A矩阵，已知A矩阵和B矩阵的乘积C矩阵，求B矩阵的问题。Numpy库的 linalg模块的solve()函数可以使用矩阵求解线性方程组。

例6 求解线性方程组

案例代码见课程资源（unit2\case13.py）

# 导入numpy库
import numpy as np
# 程序入口
if __name__ == '__main__':
   
   # 建立3X3矩阵
   ta = np.array([[15,28,5],
          [12,31,6],
          [13,29,67]
          ])
   # 建立3维行向量
   tb = np.array([154,153,153])
   # 解线性方程组
   x = np.linalg.solve(ta,tb)
   # 输出x、y、z的值
   print("x = %.2f  y = %.2f  z = %.2f" % (x[0],x[1],x[2]))