矩阵与线性方程组

将类似于“2x + 3y = 1”这样的等式放在一起，并找出满足所有等式的x和y的值，就构成了线性方程组。

如下面的线性方程组：

求解该线性方程组的几何意义是：

解的情况分为以下三种：

两条直线相交于一点，此时方程组有一个解。

两条直线共线，即它们完全重合，这种情况下方程组有无数解。

两条直线平行，互不相交，此时方程组无解。

若从矩阵与向量的视角审视此问题，将会开启一种全新的解题思路。

可以把上面方程组的系数、未知数、常数用矩阵的方式来表示，这样求解线性方程组的问题就转换为矩阵运算的问题。

设系数矩阵为A，未知数为向量x，常数为向量b，则得到了更一般的形式：

Ax = b

这样就转换成了我们熟悉的Ax=b矩阵的乘法形式，求解向量x。解线性方程组问题就转化为空间映射问题，已知目标空间的向量b，和描述空间映射的矩阵A，去求解位于原空间映射过来的向量x。

如果方程组有解，满足Ax=b等式成立，向量b就是矩阵A各列与向量x的线性组合，因此向量b只有在矩阵A与向量A线性组合的列空间上，才能满足方程组有界。

使用NumPy解线性方程组

在Python的NumPy库中，求解线性方程组通常使用numpy.linalg.solve函数。给定一个线性方程组Ax = b，其中A 是一个系数矩阵，b 是一个常数向量，numpy.linalg.solve可以求解出未知数向量 x。

下面是一个使用numpy.linalg.solve求解线性方程组的示例：

# 导入NumPy库
import numpy as np
# 定义一个二维数组A，作为线性方程组的系数矩阵
# 这个例子中的方程组可以表示为：
# 2x + 3y = 1
# 1x - 1y = 2
A = np.array([[2, 3], [1, -1]])
# 定义一个一维数组b，作为线性方程组的常数项向量
# 即方程组右侧的值
b = np.array([1, 2])
# 使用NumPy的线性代数模块（linalg）中的solve函数来求解线性方程组Ax = b
# 这里，x是我们要找的解向量，使得A乘以x等于b
x = np.linalg.solve(A, b)
# 打印解向量x
# 对于这个特定的方程组，解应该是x和y的值，分别对应于x数组中的元素
print("解向量x:", x)
# 输出结果将是方程组的一个解，比如x和y的值，这取决于系数矩阵A和常数项向量b的具体值

这段代码首先通过np.array创建了两个NumPy数组：一个二维数组A作为线性方程组的系数矩阵，和一个一维数组b作为方程组的常数项。然后，它使用np.linalg.solve函数来求解这个线性方程组，找到满足Ax = b的x向量，并打印出解向量x。

需要注意的是，numpy.linalg.solve函数要求系数矩阵A必须是方阵，并且是可逆的（即，矩阵的行列式不为0）。如果A不是方阵或者不可逆，这个函数将会抛出异常。对于非方阵系统，可以使用numpy.linalg.lstsq函数求解最小二乘解。

求解线性方程组应用案例

假如猪肉、牛肉、鸡蛋的价格在一周内不发生变化，记录近三周内的价格。为计算简单起见，价格都设定为整数。

设某个家庭每周对猪肉、牛肉、鸡蛋的需求分别为4千克、3千克、2千克，求这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支？

一般计算过程为：

第一周：15 X 4 + 28 X 3 + 5 X 2 = 154

第二周：12 X 4 + 31 X 3 + 6 X 2 = 153

第三周：13 X 4 + 29 X 3 + 7 X 2 = 153

现在把上面的数据用矩阵来表示，矩阵A表示猪肉、牛肉、鸡蛋三周的价格，矩阵B表示某个家庭每周的需求。

下面用线性方程组求解。

设某家庭近三周每周对猪肉、牛肉、鸡蛋的需求分别为x千克、y千克、z千克，已知近三周每周猪肉、牛肉、鸡蛋的价格和某家庭近三周每周的消费，求x、y和z。

可以列三元一次方程组：

15x + 28y + 5z = 154

12x + 31y + 6z = 153

13x + 29y + 7z = 153

可以把上面方程组的系数、未知数、常数用矩阵的方式来表示，这样就可以使用矩阵运算来求解方程组。

求解三元一次方程组的问题就变为：

已知A矩阵，已知A矩阵和B矩阵的乘积C矩阵，求B矩阵的问题。Numpy库的 linalg模块的solve()函数可以使用矩阵求解线性方程组。

例 求解线性方程组

# 导入numpy库
import numpy as np
# 程序入口
if __name__ == '__main__':
    
   # 建立3X3矩阵
   ta = np.array([[15,28,5],
                  [12,31,6],
                  [13,29,67]
                  ])
   # 建立3维行向量
   tb = np.array([154,153,153])
   # 解线性方程组
   x = np.linalg.solve(ta,tb)
   # 输出x、y、z的值
   print("x = %.2f  y = %.2f  z = %.2f" % (x[0],x[1],x[2]))