笛卡尔坐标系中用数对（a1,a2）来定位平面上的点，三维空间使用三元组（a1,a2,a3)来定位空间中的点。
绘图代码【matlab】
% 定义数对（a1，a2） a1 = 3 a2 = 9 % 绘制点 scatter(a1,a2,60,'filled') % 绘制标注 text(a1+0.1,a2,"(a1=3,a2=9)",'color','m') hold on % 绘制直线 line([3,3],[0,a2],'linestyle',':','linewidth',3) hold on % 绘制直线 line([0,3],[a2,a2],'linestyle',':','linewidth',3) % 设置坐标轴范围 xlim([0,6]) ylim([0,18])
绘图代码【matlab】
% 定义三元组（a1,a2,a3） a1 = 3 a2 = 9 a3 = 6 % 绘制点 scatter3(a1,a2,a3,60,'filled') % 绘制标注 text(a1+0.5,a2,a3,"(a1=3,a2=9,a3=6)",'color','m') hold on % 绘制X轴到（a1,a2,a3）的连接线 % (3,0,0)(3,9,6) plot3([3,3],[0,9],[0,6],'linestyle',':','linewidth',3) hold on % 绘制Y轴到（a1,a2,a3）的连接线 % (0,9,0)(3,9,6) line([0,3],[9,9],[0,6],'linestyle',':','linewidth',3) % 绘制Z轴到（a1,a2,a3）的连接线 % (0,0,6)(3,9,6) line([0,3],[0,9],[6,6],'linestyle',':','linewidth',3) % 设置坐标轴范围 xlim([0,6]) ylim([0,18]) zlim([0,12])
四维空间可以使用四元组（a1,a2,a3,a4）来定位空间的点，以此类推，我们可以把它推广到五元组以及更一般的n元组：
这样的n元组称为n维点或n维向量，这n个数：
称为该点的坐标或该向量的分量，在线性代数中，点和向量看作同一个概念，不加以区分。所有的n维向量组成的集合称为n维空间或n元组组成的向量空间，用记号：
R^n
表示，其中R表示该空间向量的分量均为实数。
下图是一个由若干向量构成的圆，向量的起点为（2,2），向量的长度为极径2，向量的终点为圆周上的点。
绘图代码【matlab】
% 设置极径为2 r=2; % 在0至2*pi范围内设置极角，极角的间隔为pi/100 theta=0:pi/100:2*pi; % 创建长度为numel(theta)的一维数组ox和oy，元素的值为2 ox = linspace(2,2,numel(theta)); oy = ox % 计算圆周各点的坐标 x=r*cos(theta); y=r*sin(theta); % 绘制向量 quiver(ox,oy,x,y) axis equal
尽管向量的定义与几何没有关系，但三维或三维以下空间中的向量可以使用几何来描述，帮助我们更好地理解向量。
在二维空间中，设A、B为空间中的两点，若将其中一点A看作起点，将另一点B看作终点，则可以称这对点为一个几何向量，在图像上用从A到B的有向线段表示这个几何向量，并将这个向量表示为：
下图是使用matlab函数quiver()绘制的向量AB，quiver()函数是在指定的起点绘制向量，如在起点A绘制向量B，因此使用该函数绘制的向量AB，并不是标准的几何向量。
绘图代码【matlab】
% 定义点A A = [2,3] % 定义点B B = [5,6] % 绘制向量 quiver(ox,oy,x,y) quiver(A(1),A(2),B(1),B(2)) % 绘制标注 text(A(1),A(2)-0.2,"A(2,3)",'color','m') text(B(1)+A(1),B(2)+A(1),"B(5,6)",'color','m') % 设置坐标轴范围 xlim([0,10]) ylim([0,10]
向量一般使用大写字母A，B，C，……来表示向量，用小写字母a，b，c，……来表示向量的分量，例如：
向量是n元组的实数，n元组的复数也是向量，称为复向量，现在暂时只考虑实数向量。我们引入向量的运算，向量的运算主要是相等、加法和纯量乘法，纯量也称为标量，是实数的同义词。
向量的相等
若两个向量的分量分别相等，则认为这两个向量是相等的向量。例如在n维空间内有A和B两个向量：
A=B与下列等式等价：
下图展示了两个相等的向量A和B，从图中可以看出，当两个向量相等时，这两个向量或者重合或者平行，其长度也相等。
绘图代码【matlab】
%定义向量A A = [1,3] %定义向量B B = [1,3] quiver(2,2,A(1),A(2)) hold on quiver(5,3,B(1),B(2)) % 绘制标注 text(A(1)+2,A(2)+2,"A(1,3)",'color','m') text(B(1)+5,B(2)+3,"B(1,3)",'color','m') % 设置坐标轴范围 xlim([0,8]) ylim([0,8])
向量的加法
若两个向量相加，需要将这两个向量对应的分量分别相加，相加的结果是一个新的向量，向量可以执行加法运算的前提条件是，两个向量在同维度空间内，且两个向量的分量数目相同。
例如在n维空间内有A和B两个向量：
A+B=
向量的减法运算可以转换为加法运算，先将为减数的向量取反，再执行加法运算。例如：
A-B=A+(-B)
下图展示了向量加法的几何解释，A和B向量的和是平行四边形OACB的对角线OC，我们称这种现象为几何向量的加法遵守平行四边形法则。
向量的加法满足交换律和结合律。
A+B=B+A
A+(B+C)=(A+B)+C
纯量乘法
纯量乘法是一个实数去乘向量，结果是一个新的向量。例如实数c与向量A相乘，将c与A的所有分量相乘所得的向量，该向量称为cA或Ac。
若正实数与向量相乘，结果向量与该向量的方向相同，若负实数与向量相乘，结果向量与该向量的方向相反。
下图展示了纯量乘法的几何解释，使用实数c乘以一个向量A，cA为向量A的c倍，若c为负数，cA与向量A的方向相反。
绘图代码【matlab】
%定义向量A A = [1,2] %向量A乘以实数1.5 cA = A*1.5 cB = A*(-1.5) %绘制向量 hold on quiver(2,2,cA(1),cA(2),'color','r') quiver(2,2,cB(1),cB(2),'color','b') quiver(2,2,A(1),A(2),'color','m') %绘制向量起点 scatter(2,2) % 绘制标注 text(A(1)+2,A(2)+2,"A(1,-2)",'color','m') text(cA(1)+2,cA(2)+2,"cA=A*1.5",'color','m') text(cB(1)+2,cB(2)+2,"cA=A*(-1.5)",'color','m') % 设置坐标轴范围 xlim([-2,6]) ylim([-2,6]) 纯量乘法满足结合律和分配率。 c(dA)=(cd)A (c+d)A=cA+dA
分量全为零的向量称为零向量，记为O。