数学趣题:舍罕王的失算
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- 2024-07-12
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故事背景
数学家达依尔向印度国王舍罕王要求赏赐
舍罕王是古印度的一个国王,他喜欢上了下棋,并且和大臣达依尔下棋时输给了他。达依尔请求国王赏赐他麦子,要求是棋盘的第一个格子放1粒麦子,第二个格子放2粒,第三个格子放4粒,第四个格子放8粒,以此类推,每个格子放的麦子是前一个格子的两倍,直到放满整个64格的棋盘。国王觉得要求很简单,就答应了。但是,当真正开始计算所需的麦子数量时,国王才发现这是一个天文数字,他无法兑现这个承诺。
数学问题
舍罕王的计算结果是多少粒麦子?
达依尔请求在棋盘的第一个格子放1粒麦子,第二个格子放2粒,第三个格子放4粒,以此类推,直到放满整个棋盘的64个格子。假设a_1为第一个格子麦子数量、a_2第二个格子麦子数量、……,这意味着:
第一个格子(( a_1 ))有1粒麦子
第二个格子(( a_2 ))有2粒麦子,即 ( a_1*2 )
第三个格子(( a_3 ))有4粒麦子,即 ( a_2*2 )
以此类推,第 ( n ) 个格子(( a_n ))有 ( a_1 * 2^{n-1} ) 粒麦子
从上面的计算规律可以看出,达依尔请求的麦子数量遵循了一个特定的增长模式,即每个格子中的麦子数量是前一个格子的两倍。这种“每次翻倍”的增长方式正是等比数列的定义。
等比数列的定义: 等比数列是一个数列,其中任何一项(从第二项开始)都是它前一项与一个常数(称为公比)的乘积。
在这个问题中,公比 ( r ) 是2。
问题解答
为了计算整个棋盘所需的麦子数量,我们需要对这个等比数列进行求和。等比数列的求和公式为:
S = a_1 * ((1 - r^n)/(1 - r))
其中,( S ) 是和,( a_1 ) 是首项,( r ) 是公比,( n ) 是项数。在这个问题中,( a_1 = 1 ),( r = 2 ),( n = 64 )。
为了更好理解上面的公式,我们来计算前4个格子麦子数量的和。
S = 1 * ((1-2^4)/(1-2)) = 15
计算结果是正确的,前4个格子麦子数量的和为15。
计算填满64个格子需要的麦子数量和:
S = 1 * ((1-2^64)/(1-2))
最终计算出的麦子数量是一个天文数字,远远超出了国王的想象。具体来说,这个数字是 ( 2^{64} - 1 ),即 ( 18,446,744,073,709,551,615 ) 粒麦子。这个数量之大,即使是现代人也难以想象。
C语言编程实现
用C语言实现计算舍罕王所需的麦子数量,可以直接使用等比数列求和的公式,但需要注意避免整数溢出,因为当棋盘大小达到64格时,麦子的数量会是一个非常大的数,会超出普通整型(int)的范围。需要使用unsigned long long类型来存储结果,它是一个更大的无符号整数类型。
C语言实现代码:
#include <stdio.h>
// 定义一个函数来计算等比数列的和
unsigned long long geometric_series_sum(unsigned long long a1, unsigned long long r, unsigned long long n) {
if (r == 1) {
// 如果公比为1,则等比数列变为等差数列,求和公式为 a1 * n
return a1 * n;
} else {
// 使用等比数列求和公式
return a1 * ((1 - pow(r, n)) / (1 - r));
}
}
int main() {
unsigned long long a1 = 1; // 首项
unsigned long long r = 2; // 公比
unsigned long long n = 64; // 项数
// 计算等比数列的和
unsigned long long sum = geometric_series_sum(a1, r, n);
// 输出结果
printf("所需的麦子数量为:%llu\n", sum);
return 0;
}
上面的代码直接使用pow函数可能会因为浮点数的精度问题而导致误差,若对精度要求比较高,需要手动实现一个幂运算的函数来避免这个问题。
函数实现代码:
unsigned long long power(unsigned long long base, unsigned long long exponent) {
unsigned long long result = 1;
while (exponent > 0) {
if (exponent % 2 == 1) {
result *= base;
}
base *= base;
exponent /= 2;
}
return result;
}
将power函数插入到geometric_series_sum函数中,并替换pow函数的调用,就可以避免浮点数的精度问题了。
Python语言实现
使用Python语言计算舍罕王所需的麦子数量,不需要担心整数的溢出问题,因为Python的内置整数类型可以处理任意大小的整数。
Python实现代码:
def geometric_series_sum(a1, r, n):
"""
计算等比数列的和
a1: 首项
r: 公比
n: 项数
"""
if r == 1:
# 如果公比为1,则为等差数列
return a1 * n
else:
# 使用等比数列求和公式
return a1 * (pow(r, n) - 1) // (r - 1)
# 舍罕王问题参数
a1 = 1 # 首项
r = 2 # 公比
n = 64 # 项数(棋盘格数)
# 计算所需麦子数量
answer = geometric_series_sum(a1, r, n)
# 输出结果
print(f"所需的麦子数量为:{answer}")
注意,在Python中,// 是整数除法,它会返回商的整数部分,这在处理大数时非常有用,因为我们知道结果是一个整数。
运行上述代码,你将得到舍罕王所需的麦子数量,这是一个非常大的数。在实际情况中,你可能需要将其格式化为更易于阅读的格式,比如科学记数法。