向量与向量空间
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笛卡尔坐标系中用数对(a1,a2)来定位平面上的点,三维空间使用三元组(a1,a2,a3)来定位空间中的点。

01.png

绘图代码【matlab】

% 定义数对(a1,a2)
a1 = 3
a2 = 9
% 绘制点
scatter(a1,a2,60,'filled')
% 绘制标注
text(a1+0.1,a2,"(a1=3,a2=9)",'color','m')
hold on
% 绘制直线
line([3,3],[0,a2],'linestyle',':','linewidth',3)
hold on
% 绘制直线
line([0,3],[a2,a2],'linestyle',':','linewidth',3)
% 设置坐标轴范围
xlim([0,6])
ylim([0,18])

02.png

绘图代码【matlab】

% 定义三元组(a1,a2,a3)
a1 = 3
a2 = 9
a3 = 6
% 绘制点
scatter3(a1,a2,a3,60,'filled')
% 绘制标注
text(a1+0.5,a2,a3,"(a1=3,a2=9,a3=6)",'color','m')
hold on
% 绘制X轴到(a1,a2,a3)的连接线
% (3,0,0)(3,9,6)
plot3([3,3],[0,9],[0,6],'linestyle',':','linewidth',3)
hold on
% 绘制Y轴到(a1,a2,a3)的连接线
% (0,9,0)(3,9,6)
line([0,3],[9,9],[0,6],'linestyle',':','linewidth',3)
% 绘制Z轴到(a1,a2,a3)的连接线
% (0,0,6)(3,9,6)
line([0,3],[0,9],[6,6],'linestyle',':','linewidth',3)
% 设置坐标轴范围
xlim([0,6])
ylim([0,18])
zlim([0,12])

四维空间可以使用四元组(a1,a2,a3,a4)来定位空间的点,以此类推,我们可以把它推广到五元组以及更一般的n元组:

03.png

这样的n元组称为n维点或n维向量,这n个数:

04.png

 

称为该点的坐标或该向量的分量,在线性代数中,点和向量看作同一个概念,不加以区分。所有的n维向量组成的集合称为n维空间或n元组组成的向量空间,用记号:

 R^n

表示,其中R表示该空间向量的分量均为实数。

 下图是一个由若干向量构成的圆,向量的起点为(2,2),向量的长度为极径2,向量的终点为圆周上的点。

 06.png

绘图代码【matlab】

% 设置极径为2
r=2;
% 在0至2*pi范围内设置极角,极角的间隔为pi/100
theta=0:pi/100:2*pi;
% 创建长度为numel(theta)的一维数组ox和oy,元素的值为2
ox = linspace(2,2,numel(theta));
oy = ox
% 计算圆周各点的坐标
x=r*cos(theta);
y=r*sin(theta);
% 绘制向量
quiver(ox,oy,x,y)
axis equal

尽管向量的定义与几何没有关系,但三维或三维以下空间中的向量可以使用几何来描述,帮助我们更好地理解向量。

在二维空间中,设A、B为空间中的两点,若将其中一点A看作起点,将另一点B看作终点,则可以称这对点为一个几何向量,在图像上用从A到B的有向线段表示这个几何向量,并将这个向量表示为:

 22.png

下图是使用matlab函数quiver()绘制的向量AB,quiver()函数是在指定的起点绘制向量,如在起点A绘制向量B,因此使用该函数绘制的向量AB,并不是标准的几何向量。

08.png

绘图代码【matlab】

% 定义点A
A = [2,3]
% 定义点B
B = [5,6]
% 绘制向量
quiver(ox,oy,x,y)
quiver(A(1),A(2),B(1),B(2))
% 绘制标注
text(A(1),A(2)-0.2,"A(2,3)",'color','m')
text(B(1)+A(1),B(2)+A(1),"B(5,6)",'color','m')
% 设置坐标轴范围
xlim([0,10])
ylim([0,10]

 

向量一般使用大写字母A,B,C,……来表示向量,用小写字母a,b,c,……来表示向量的分量,例如:

 09.png 

向量是n元组的实数,n元组的复数也是向量,称为复向量,现在暂时只考虑实数向量。我们引入向量的运算,向量的运算主要是相等、加法和纯量乘法,纯量也称为标量,是实数的同义词。

向量的相等

若两个向量的分量分别相等,则认为这两个向量是相等的向量。例如在n维空间内有A和B两个向量:

10.png

A=B与下列等式等价:

11.png

下图展示了两个相等的向量A和B,从图中可以看出,当两个向量相等时,这两个向量或者重合或者平行,其长度也相等。

12.png

绘图代码【matlab】

%定义向量A
A = [1,3]
%定义向量B
B = [1,3]
quiver(2,2,A(1),A(2))
hold on
quiver(5,3,B(1),B(2))
% 绘制标注
text(A(1)+2,A(2)+2,"A(1,3)",'color','m')
text(B(1)+5,B(2)+3,"B(1,3)",'color','m')
% 设置坐标轴范围
xlim([0,8])
ylim([0,8])

向量的加法

若两个向量相加,需要将这两个向量对应的分量分别相加,相加的结果是一个新的向量,向量可以执行加法运算的前提条件是,两个向量在同维度空间内,且两个向量的分量数目相同。

例如在n维空间内有A和B两个向量:

 16.png

A+B=

17.png

 向量的减法运算可以转换为加法运算,先将为减数的向量取反,再执行加法运算。例如:

A-B=A+(-B)

下图展示了向量加法的几何解释,A和B向量的和是平行四边形OACB的对角线OC,我们称这种现象为几何向量的加法遵守平行四边形法则。

18.png

向量的加法满足交换律和结合律。

A+B=B+A

A+(B+C)=(A+B)+C

纯量乘法

纯量乘法是一个实数去乘向量,结果是一个新的向量。例如实数c与向量A相乘,将c与A的所有分量相乘所得的向量,该向量称为cA或Ac。

19.png

若正实数与向量相乘,结果向量与该向量的方向相同,若负实数与向量相乘,结果向量与该向量的方向相反。

下图展示了纯量乘法的几何解释,使用实数c乘以一个向量A,cA为向量A的c倍,若c为负数,cA与向量A的方向相反。

20.png

绘图代码【matlab】

%定义向量A
A = [1,2]
%向量A乘以实数1.5
cA = A*1.5
cB = A*(-1.5)
%绘制向量
hold on
quiver(2,2,cA(1),cA(2),'color','r')
quiver(2,2,cB(1),cB(2),'color','b')
quiver(2,2,A(1),A(2),'color','m')
 
%绘制向量起点
scatter(2,2)
% 绘制标注
text(A(1)+2,A(2)+2,"A(1,-2)",'color','m')
text(cA(1)+2,cA(2)+2,"cA=A*1.5",'color','m')
text(cB(1)+2,cB(2)+2,"cA=A*(-1.5)",'color','m')
 
% 设置坐标轴范围
xlim([-2,6])
ylim([-2,6])
 
纯量乘法满足结合律和分配率。
c(dA)=(cd)A
(c+d)A=cA+dA

分量全为零的向量称为零向量,记为O。

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