指数函数
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指数函数的公式如下:

y = a^x (a是常数,且a>0,a!=1)

指数函数的定义域是(-∞,+∞),指数函数与幂函数不同,底数a是常数,变量x是指数,y是幂的值。

区分幂函数和指数函数的关键点是看变量x是指数还是底数,若x是指数,函数为指数函数,否则函数为幂函数。

借助于函数图像来理解函数的性质。

例1   绘制a=1/3的函数图像

案例代码见课程资源(unit1/case10.py)

# 导入sympy库
from sympy import symbols,sin,plot
# 定义指数函数
def func(y,x):
   return y**x
# 定义数学符号x,y
x=symbols('x')
y=symbols('y')
# 生成指数函数公式
f=func(1/3,x)
# 绘制图形
plot(f,(x,-2,2))

代码解读

自定义函数fun用于描述指数函数,传入的参数y是底数,x是指数,函数返回指数函数公式。

06.png

观察函数图像,当底数为1/3,x在[-2,2]区间内变化时,函数单调减少,函数既不关于原点对称,也不关于轴对称,是非奇非偶函数,值域是(0,+∞)。

例2    绘制a=1/3和a=3的函数图像

稍微修改一下例1的绘图代码,绘制两个函数图像。

# 生成指数函数公式
f1=func(1/3,x)
f2=func(3,x)
# 绘制图形
plot(f1,f2,(x,-2,2))

 07.png

观察函数图像,发现y=a^1/3和y=a^3的图像关于Y轴对称,因为:

y=(1/a)^x = a^-x,所以y=a^x的图像与y=(1/a)^x的图像关于Y轴对称。也可以说底互为倒数的两个函数图像关于Y轴对称。

观察函数图像进一步发现,y=a^3函数图像单调增加。读者可以使用程序绘制a取其它值的函数图像,最终会得出一个结论:

若a>1,指数函数单调增加,

若0<a<1,指数函数单调减少。

例3  绘制e为底的指数函数

稍微修改一下例1的绘图代码。

import sympy
# 生成指数函数公式
f=func(sympy.E,x)
# 绘制图形
plot(f,(x,-2,2))

E是sympy预定义的自然常数e,使用E需要导入sympy库。

08.png

指数函数e^x的重要性在于,e^x的导函数等于自身。

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