向量空间
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假设有非空向量集合V,V中有两个二维向量v1和v2:

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v1和v2的线性组合在二维坐标系中可以充满整个坐标空间。

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例如v1和v2可以线性组合为向量:

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要使v1和v2线性组合为向量v3,只要求出标量t1和t2就可以了。

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要求出t1和t2,将已知向量代入上面的算式:

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由上可得下面的方程组:

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解方程组得:

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即:

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依次类推,在二维坐标系中所有的实数点都可以由v1和v2线性组合的向量来表示。

v1和v2的线性组合会充满整个二维空间R2,也可以说R2空间内的所有向量都可以由v1和v2的线性组合来表示。

二维空间R2就称为二维向量空间,向量空间对空间内向量的所有线性组合封闭,向量空间内所有向量的线性组合都会在R2向量空间内。

同理,假设有非空向量集合V,V中有三个三维向量v1、v2、v3,并且v1、v2、v3不共线(任意两个向量不在一条直线上)。则v1、v2、v3的线性组合会充满整个三维空间R3,也可以说R3空间内的所有向量都可以由v1、v2、v3的线性组合表示,三维空间R3就称为三维向量空间。

依次类推,可以给出更高维的向量空间。


向量的张成空间

如果几个向量的线性组合在某一个向量空间中,如R2向量空间,并且该向量空间仅包括这几个向量的线性组合,那么这个向量空间就叫做这几个向量的张成空间。

前面向量v1和v2的张成空间就是R2向量空间,表示如下:

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在R2空间中,如果有两个向量a和b:

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向量a和b方向相反并且共线,a和b共线就是向量a和b在一条直线上。我们来看a向量和b向量线性组合的张成空间。

标量2乘以向量a加上标量0.5乘以向量b的线性组合为:

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标量0.5乘以向量a加上标量2乘以向量b的线性组合为:

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实际上向量a和向量b的张成空间是一条直线,向量a和向量b的线性组合是向量a或向量b长度的缩放。

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郎宏林
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项目经理,系统分析和架构师,从事多年中文信息处理技术。熟悉项目管理、擅长项目需求分析和设计、精通Java、C#、Python等编程语言。
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