线性相关与线性无关
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如果有两个向量v1和v2:

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那么,向量v1和v2张成的空间是什么呢?

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v1和v2的线性组合是:

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从上面向量v1和v2的组合过程可以看出,向量v2是向量v1与标量3的数乘组合,向量v2可以用标量3与向量v1的数乘表示。因此v1和v2的线性组合相当于单个向量v1的线性组合,向量v1和v2的张成空间是一条直线。

v1和v2向量就是线性相关的,因为v2可以用v1的线性组合表示,v2也可以用v1的线性组合表示,也就是说v1和v2只要有一个向量就可以,其中一个向量是多余的。

反过来说,如果向量v2不能用向量v1的线性组合表示,向量v1也不能用向量v2的线性组合表示,则向量v1和v2就是线性无关的。

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上图中向量v1和任何实数值的标量数乘都不会组合出向量v2,同样,向量v2和任何实数值的标量数乘也不会组合出向量v1。此时v1和v2就是线性无关的。

线性相关和线性无关是针对一组向量来说的,当这一组中的任意一个向量都不能用组中有限个向量的线性组合所表示,就说这组向量是线性无关的,反之就是线性相关的。

假设有下面的一组向量:

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v1、v2和v3看起来是线性无关的,其中任意一个向量无论如何进行数乘,都无法表示另一个向量。但线性组合不仅仅包括数乘,还包括向量的加法。

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从上面的线性组合可以看出,v3是v1和v2的线性组合,因此V组向量是线性相关的,在这组向量中,v3是多余的向量,因为v3可以由v1和v2的线性组合表示。

下面给出线性相关的数学语言描述,如果存在一个向量集合:

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当集合中的向量满足:

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其中Z是零向量,ti属于实数,并且ti不全为0时。

就说集合V中的向量是线性相关的。

根据线性相关的数学描述,我们来验证下面的向量组是否线性相关。

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要判断向量组V是否线性相关,只要判断v1、v2和v3能否线性组合为零向量,如果能线性组合为零向量,则向量组V是线性相关的。

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要求出t1、t2和t3,将已知向量代入上面的线性组合:

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解线性方程组得:

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当t1=1/2、t2=1/2、t3=-1时,上面的线性组合成立,因此向量组V是线性相关的。

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郎宏林
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项目经理,系统分析和架构师,从事多年中文信息处理技术。熟悉项目管理、擅长项目需求分析和设计、精通Java、C#、Python等编程语言。
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