向量的点积是两个向量间每个对应分量乘积的和，向量点积的结果是一个标量。向量的点积记为：a ● b，其中a和b是任意n维向量。

假设有下面两个向量a和b，求a ● b。

向量a有a1、a2、……、an个分量，向量b有b1、b2、……、bn个分量，a ● b的结果是：

a ● b = a1*b1 + a2 * b2 + …… + an * bn

举一个实际的例子，设有下面两个二维向量e和f，求e ●  f。

e ●  f = 2 * 3 + (-1)*5 = 1

进一步考虑，向量自身的点积是什么呢？假设有下面二维向量a。

向量a自身的点积为：

如果我们把向量a看作是二维坐标系中的向量，则向量a的两个分量就是二维坐标系中的坐标点，分量a1是x坐标，分量a2是y坐标。二维坐标系中向量a如下图所示：

从上图可以看出，根据勾股定理得向量a长度的平方等于a1的平方加上a2的平方，由此得出：

向量自身的点积是向量自身长度的平方

向量长度也记为向量的模长，向量的模长等于向量自身点积的二次方根，即：

其中||a||表示向量a的模长，向量a的模长也可以记为：

假设有下面向量c，求向量c的模长。

向量c的模长为：

前面讨论的是二维向量的模长，二维向量模长的计算同样适用于多维向量模长的计算。假设有下面n维向量b。

n维向量b的模长为：

下面我们使用Numpy实现向量的点积与模长计算。

import numpy as np
#创建向量a
a =  np.array([2,-1])
#创建向量b
b =  np.array([3,5])
if __name__ == '__main__':
    #输出a与b的点积
    print(np.dot(a,b))
    #输出a的模长,对a自身的点积做开方运算
    print(np.sqrt(np.dot(a,a)))