向量的正交
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图1、图2和图3展示了二维空间向量A和B相交、正交和重合的情况。

21.png

图 1向量A和B

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图 2向量A和B正交

23.png

图 3向量A和B重合

绘图代码【Python】

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
plt.rc("font",family='MicroSoft YaHei',weight="bold")
 
# 定义向量A和B
A = np.array([2,1])
B = np.array([2,3.5])
 
# 创建坐标轴
ax = plt.axes()
 
#  (1,1)为起点,绘制向量A和B
ax.arrow(1, 1, *A, color='b', linewidth=2.0, head_width=0.20, head_length=0.25)
ax.arrow(1, 1, *B, color='m', linewidth=2.0, head_width=0.20, head_length=0.25)
 
# 设置X轴范围
plt.xlim(0,5)
 
# 设置X轴刻度
major_xticks = np.arange(0, 5)
ax.set_xticks(major_xticks)
 
# 设置Y轴范围
plt.ylim(0, 5)
 
# 设置Y轴刻度
major_yticks = np.arange(0,5)
ax.set_yticks(major_yticks)
 
# 绘制网格线
plt.grid(b=True, which='major')
 
# 绘制标注
ax.text(A[0]+1.5,A[1]+1,"向量A(2,1)")
ax.text(B[0]+1.5,B[1]+1,"向量B(2,3.5)")
ax.text(1.5,1.5,"夹角θ")
 
# 显示图像
plt.show()

在二维空间内,A和B两个向量相交情况可以由夹角θ确定:若θ等于90度,向量A和B垂直,也称为向量A和B正交;若θ等于0度,向量A和B重合且方向相同;若θ等于180度,向量A和B在一条直线上,且方向相反;若θ大于0度,且小于180度,且不等于90度,向量A和B相交。可见向量A和B正交是相交的一种特殊情况。

向量的相交情况可以推广到n维空间,在n维空间内,任意两个向量A和B都成立。

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上图画出了空间中相互垂直的两个向量,给出了一个直角边长分别为||A||和||B||,斜边长为||A+B||的直角三角形。由于向量A和B相互垂直,应用勾股定理可知:

27.png

下面推导||A+B||^2公式:

||A+B||^2
=(A+B)*(A+B)
=A*A+2A*B+B*B
=||A||^2+||B||^2+2A*B

上面推导的公式对n维空间任意两个向量A和B都成立

比较上面的两个公式,可得出A*B=0,即两个相互垂直的向量的点积为零。下面给出向量正交的定义:

对n维空间上两个向量A和B,当A*B=0时,称它们互相垂直或正交。

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