向量的模和范数
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有时我们需要衡量一个向量的大小,向量的大小即为向量的长度,如何计算向量的长度呢?

图片1.png

绘图代码【matlab】

% 定义向量A
A = [3 9]
% 以原点为起点,绘制向量A
quiver(0,0,A(1),A(2))
hold on
% 绘制点
scatter(A(1)-0.2,A(2)-0.8,60,'filled')
% 绘制标注
text(A(1)+0.1,A(2),"向量A(3,9)",'color','m')
hold on
% 绘制直线
line([A(1)-0.2,A(1)-0.2],[0,A(2)-0.8],'linestyle',':','linewidth',3)
% 绘制标注
text(A(1)/2,1,"a1=3",'color','black')
text(A(1)+0.1,A(2)/2,"a2=9",'color','black')
% 设置坐标轴范围
xlim([0,6])
ylim([0,12])

上图画出了二维平面上从原点到A=(a1,a2)的几何向量,由勾股定理,可以求得A的长度。

02.png

同理,我们可以得出三维空间中的几何向量A=(a1,a2,a3)的长度公式:

03.png

向量长度也记为向量的模长,在n维空间中,向量的模长等于向量分量平方和的二次方根,即:

04.png

其中||A||表示向量A的模长,向量a的模长也可以记为:

05.png

例1:求向量C的模长。

06.png

向量C的模长为:

07.png

从例1可以看出,向量C的长度等于:

08.png

即向量C与自身点积的平方根。

下面给出定义:

设A为n维空间的向量,令

09.png

||A||称为向量A的长度或范数。

向量的范数可以理解为衡量从原点到点A的距离,是将向量映射到非负值的函数,范数满足下列性质:

(a)若A=0,则||A||=0;

(b)若A!=0,则||A||>0;

(c)||cA|| = |c|||A||。

在机器学习中,范数被描述为下面的函数:

10.png

简写为:

11.png

其中p为实数,且大于等于1。

当p=2时,L^2范数称为欧几里得范数,它表示从原点出发到向量x确定的点的欧几里得距离,L^2范数在机器学习中出现得非常频繁,经常简化为||x||,略去了下标2。

当p=1时,向量x的L^1范数为:

屏幕截图 2021-11-08 195527.png

L^1范数等于向量所有分量的绝对值和。当机器学习问题中零和非零元素之间的差异非常重要时,通常会使用L^1范数,每当x中某个分量从0增加到ε时,对应的L^1范数也会增加ε。

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