子空间与子空间的基
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设V是R^n的一个非空子集,例如R^2二维空间的非空子集。若V中的任意有限个向量的线性组合依然属于V,则称V是R^n的一个线性子空间,简称子空间。

如果V是R^n的子空间,则V需要满足下面的条件:

(1) 包含零向量;

(2) V中任意一个向量的数乘也在V中,即数乘封闭性;

(3)V中任意有限个向量的加法也在V中,即加法封闭性。

子空间为什么必须要包含零向量呢?

假设V是R^n的子空间,并且V非空,从而存在a向量属于V,由于子空间对数乘封闭,则存在:

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V对加法封闭,则存在:

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其中,Z为零向量。

来看一个例子,下面的V是否是R^2的子空间?

03.png

V集合中向量的取值范围在二维坐标系的第一、四象限:

04.png

要判断V是否是R^2的子空间,需要确定V是否满足R^2子空间的条件。

取x1=0,x2=0:

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定义V中任意两个向量:

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验证V中向量加法的封闭性:

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由于a1+a2≥0,所有V满足加法封闭性。

验证V中向量乘法的封闭性:

08.png

当标量为负数时,-a1不在一、四象限,数乘后的向量不在V中,V不满足乘法封闭性,V不是R^2的子空间。

子空间的基就是张成子空间所需要的最小向量组,向量组中的向量都是线性无关的,任意一个向量都不能被向量组中其它向量的线性组合表示。

如果一个向量组V:

09.png

V中的向量是线性无关的,V张成了一个子空间E,V就叫做子空间E的一组基。

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郎宏林
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项目经理,系统分析和架构师,从事多年中文信息处理技术。熟悉项目管理、擅长项目需求分析和设计、精通Java、C#、Python等编程语言。
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