设V是R^n的一个非空子集，例如R^2二维空间的非空子集。若V中的任意有限个向量的线性组合依然属于V，则称V是R^n的一个线性子空间，简称子空间。

如果V是R^n的子空间，则V需要满足下面的条件：

（1） 包含零向量；

（2） V中任意一个向量的数乘也在V中，即数乘封闭性；

（3）V中任意有限个向量的加法也在V中，即加法封闭性。

子空间为什么必须要包含零向量呢？

假设V是R^n的子空间，并且V非空，从而存在a向量属于V，由于子空间对数乘封闭，则存在：

V对加法封闭，则存在：

其中，Z为零向量。

来看一个例子，下面的V是否是R^2的子空间？

V集合中向量的取值范围在二维坐标系的第一、四象限：

要判断V是否是R^2的子空间，需要确定V是否满足R^2子空间的条件。

取x1=0，x2=0：

定义V中任意两个向量：

验证V中向量加法的封闭性：

由于a1+a2≥0，所有V满足加法封闭性。

验证V中向量乘法的封闭性：

当标量为负数时，-a1不在一、四象限，数乘后的向量不在V中，V不满足乘法封闭性，V不是R^2的子空间。

子空间的基就是张成子空间所需要的最小向量组，向量组中的向量都是线性无关的，任意一个向量都不能被向量组中其它向量的线性组合表示。

如果一个向量组V：

V中的向量是线性无关的，V张成了一个子空间E，V就叫做子空间E的一组基。