幂函数
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幂函数的公式如下:

y = x^a

a是实数,函数的定义域要看a的取值而定。当a取任何实数时,函数在(0,+∞)区间内总有定义;当a>0时,函数在[0,+∞)区间内总有定义。

y = x,y=x^2,y=x^3,y=x^1/2,y=x^-1是最常见的幂函数,下面分别探讨它们的图像和性质。

绘制函数图像要使用sympy库,sympy库是一个计算机代数系统,它支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计等方面的功能。

在使用之前需要安装sympy库,最简单的安装方法就是在shell窗口运行pip3 install sympy命令。

例1  y = x的图像和性质

绘制y = x函数图像:

案例代码见课程资源(unit1/case08.py)

# 导入sympy库
from sympy import symbols,sin,plot
# 定义幂函数
def func(x,y):
   return x**y
# 定义数学符号x,y
x=symbols('x')
y=symbols('y')
# 生成y=x函数公式
f1=func(x,1)
# 绘制图形
plot(f1,(x,-10,10))

代码解读

函数公式是由数学符号、运算符和数值构成的,sympy在绘制函数图像时,需要描述函数公式,定义公式中用到的数学符号。sympy库的symbols函数可以定义数学符号,在代码中分别定义了数学符号x和y,x为幂函数的底数,y为幂函数的指数。

函数func用来描述幂函数公式,直接返回幂函数的公式。

plot是绘制图形的函数,它可以传入多个函数公式,(x,-10,10)是一个元组,用于定义函数自变量的区间,这里定义了变量x的区间为[10,10]。

绘制的y=x函数图像如下所示:

01.png

观察y=x函数图像,该图像是一条过原点的直线,函数的定义域和值域均为全体实数,函数关于原点对称,是奇函数,图中直线呈上升趋势,函数单调增加。

例2  y=x^2的图像和性质

修改例1的程序代码,将语句:

f1=func(x,1)

修改为:

f1=func(x,2)

运行程序,可得到y=x^2的函数图像。

02.png

观察y=x^2函数图像,该图像的定义域是全体实数,值域是[0, +∞)。函数关于Y轴对称,是偶函数。函数在第二象限是单调递减(-∞,0],函数在第一象限是单调增加[0, +∞)。

例3 y=x^3的图像和性质

修改例1的程序代码,将语句:

f1=func(x,1)

修改为:

f1=func(x,3)

运行程序,可得到y=x^3的函数图像。

03.png

观察y=x^3函数图像,函数关于原点对称,是奇函数,函数的定义域和值域都是全体实数,函数单调增加。

例4 y=x^1/2的图像和性质

修改例1的程序代码,将语句:

f1=func(x,1)

修改为:

f1=func(x,1/2)

运行程序,可得到y=x^1/2的函数图像。

04.png

观察y=x^1/2函数图像,函数的定义域和值域都为区间[0, +∞),函数没有对称性,是非奇非偶函数,在区间[0, +∞)为单调增加。

 例5 y=x^-1的图像和性质

绘制y=x^-1的图像,需要稍微修改例1的代码,主要是修改绘图X变量取值区间,因为y=x^-1函数不允许变量X为0。

案例代码见课程资源(unit1/case09.py)

# 导入sympy库
from sympy import symbols,sin,plot
# 定义幂函数
def func(x,y):
   return x**y
# 定义数学符号x,y
x=symbols('x')
y=symbols('y')
# 生成y=x函数公式
f1=func(x,-1)
# 绘制图形
plot((f1,(x,0.1,10)),(f1,(x,-10,-0.1)))

代码解读

代码主要修改了plot函数传入的参数,选择变量x的不同区间绘制函数图像,若需要plot绘制不同区间的函数,可以对每个函数公式定义一个区间。

05.png

观察y=x^-1函数图像,函数图像分成两部分,分别在第一象限和第三象限。函数的定义域为不能等于0的实数,值域为不能等于0的实数,函数关于原点对称,是奇函数。函数在(-∞,0)和(0,+∞)上是递减函数。

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