爱因斯坦阶梯问题的C语言实现

问题描述

爱因斯坦曾出过这样一道有趣的数学题：有一个长阶梯，若每步上 2 阶，最后剩 1 阶；若每步上 3 阶，最后剩 2 阶；若每步上 5 阶，最后剩 4 阶；若每步上 6 阶，最后剩 5 阶；
只有每步上 7 阶，最后刚好一阶也不剩。请问该阶梯至少有多少阶。

解题思路

爱因斯坦的阶梯问题是一个经典的数学问题，它涉及到寻找一个满足特定条件的最小正整数。这个条件是关于阶梯的总阶数与不同步长下剩余的阶梯数之间的关系。

有一个长阶梯，满足以下条件：
若每步上2阶，最后剩1阶；
若每步上3阶，最后剩2阶；
若每步上5阶，最后剩4阶；
若每步上6阶，最后剩5阶；
只有每步上7阶，最后刚好一阶也不剩。
我们需要找出这个阶梯至少有多少阶。

首先，我们需要理解问题给出的条件。这些条件实际上是在说，阶梯的总阶数（我们设其为n）在除以2、3、5、6时，余数分别是1、2、4、5。同时，阶梯的总阶数n能被7整除。
应用同余式：
根据条件，我们可以写出以下同余式：
n≡1(mod2)
n≡2(mod3)
n≡4(mod5)
n≡5(mod6)
n≡0(mod7)
由于需要找到的是最小的满足条件的正整数，我们可以从较小的数开始尝试，直到找到一个数同时满足上述所有同余式。特别地，由于n必须是7的倍数，我们可以从7的倍数开始检查，看哪个数同时满足其他条件。

经过计算，我们能够确定满足所有条件的最小正整数。此过程或许会涉及一些试错，但耗时通常不长，因为7的倍数增长速度相对较快。在验证时，仅需验证该数除以2、3、5、6的余数是否分别对应为1、2、4、5，并确保该数能被7整除。
结论： 一旦寻得符合所有条件的最小正整数，即确定了阶梯所需的最少阶数。

代码实现

#include <stdio.h>

int main() {
int n = 0; // 从0开始遍历，但实际上从1开始检查
while (1) {
n++; // 递增n
if (n % 2 == 1 && n % 3 == 2 && n % 5 == 4 && n % 6 == 5 && n % 7 == 0) {
break; // 如果n满足所有条件，则跳出循环
}
}
printf("The minimum number of steps for the staircase is: %d\n", n);
return 0;
}

这段代码通过不断增加 n 的值，并检查它是否满足所有给定的条件，直到找到满足所有条件的最小 n。也可以稍微优化这个循环，从7的倍数开始检查，但这对于小范围的问题来说并不是必需的。
运行这段代码，它将输出满足所有给定条件的最小正整数 n。

算法分析

算法描述

算法使用一个while循环来遍历所有可能的正整数n，直到找到一个数满足所有给定的同余条件。对于每个n，它都会检查是否同时满足以下条件：

n % 2 == 1（n除以2余1）
n % 3 == 2（n除以3余2）
n % 5 == 4（n除以5余4）
n % 6 == 5（n除以6余5）
n % 7 == 0（n能被7整除）

时间复杂度

该算法的时间复杂度是O(N)，其中N是满足所有条件的最小正整数。

空间复杂度

该算法的空间复杂度是O(1)，因为它只使用了有限数量的变量（主要是n和几个用于printf的常量字符串），这些变量的数量不随输入大小的变化而变化。