应用Python绘制动态曲线,直观展示指数级增长与复利思维
- Python入门
- 2024-07-22
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指数增长VS线性增长和幂增长
随着变量的增加,指数增长的速度非常快,比线性增长和幂增长都要快得多。就像图上展示的,绿色的曲线(指数增长)很快就超过了蓝色的曲线(线性增长)和橙色的曲线(幂增长)。但是,在开始的时候,指数增长的值很小,所以很容易被其他两种增长方式盖住,人们可能不太会注意到它的重要性,或者低估了它。
对编程感兴趣的读者可以尝试使用Python语言来绘制上面的图形,Python代码如下:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 指定默认字体为宋体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用来正常显示负号
# 设定x的范围
x = np.linspace(0, 10, 100) # 从0到10,共100个点
# 定义增长曲线参数
# 线性增长: y = 50x
a_linear = 50
y_linear = a_linear * x
# 幂增长: y = x^3
b_power = 3
y_power = np.power(x, b_power)
# 指数增长: y = 2^x
y_exp = np.power(2, x)
# 绘制曲线
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y_linear, label='线性增长 (y = 50x)')
plt.plot(x, y_power, label='幂增长 (y = x^3)')
plt.plot(x, y_exp, label='指数增长 (y = 2^x)')
# 设置图例
plt.legend()
# 设置标题和坐标轴标签
plt.title('线性增长、幂增长和指数增长的比较')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
# 显示图表
plt.grid(True) # 显示网格线
plt.show()
指数增长的滚雪球效应
细胞分裂是一个很好的指数级增长案例。在理想情况下,一个细胞在每次分裂时都会变成两个完全相同的细胞。如果我们从一个细胞开始,并且每次分裂都产生两个新的细胞,那么细胞的数量就会随着分裂次数的增加而呈指数增长。
假设我们开始时有一个细胞,并且每过一定的时间(比如一个小时)细胞就会分裂一次。我们可以用指数函数来描述细胞数量的增长。
设 t 为时间(以小时为单位),N(t) 为 t 小时后细胞的数量。因为每次分裂细胞数量翻倍,所以底数为 2。初始时(t=0)有一个细胞,所以指数为 t。因此,细胞数量随时间变化的函数可以表示为:
N(t) = 2^t
我们编写一个简单的Python,计算并打印出不同时间点的细胞数量。
# 定义一个函数来计算细胞数量
def cell_count(t):
return 2 ** t
# 打印出不同时间点的细胞数量
for t in range(10): # 假设我们观察10个小时内的细胞数量
print(f"经过 {t} 小时后,细胞数量为:{cell_count(t)} 个")
运行这段代码,当时间t愈来愈大时,你会看到细胞数量如何随着时间的推移而呈指数级增长。
具体地说,如果我们从单个细胞开始,并假设每个细胞分裂周期(例如,一天)后都会分裂成两个,那么我们可以这样计算细胞数量的增长:
初始时(第0天),有1个细胞。
第1天后,有2个细胞(1 * 2^1)。
第2天后,有4个细胞(1 * 2^2)。
第3天后,有8个细胞(1 * 2^3)。 ... n天后,有 2^n 个细胞(其中n是天数,从0开始计数)。
这种增长方式就是指数级增长。它的特点是增长速度越来越快,因为每次分裂都会翻倍。因此,即使开始时的数量很少(只有一个细胞),在经历几个分裂周期后,数量也会变得非常庞大。
下面我们来编写一个Python程序,使用动画来演示细胞分裂的指数级增长。
# 导入必要的库
import numpy as np # NumPy库用于数值计算
import matplotlib.pyplot as plt # Matplotlib库用于绘图
from matplotlib.animation import FuncAnimation # 用于创建动画
import matplotlib as mpl # Matplotlib的配置和设置
# 设置matplotlib的后端为TkAgg,以便在某些环境下能够正常显示图形
mpl.use('TkAgg')
# 确保当前环境没有已打开的图形窗口,如果有则关闭它
if os.environ.get('DISPLAY','') == '':
print('No display found. Using non-interactive Agg backend')
mpl.use('Agg')
# 创建一个图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots()
# 初始化xdata和ydata为空列表,用于存储动画的x和y数据
xdata, ydata = [], []
# 创建一个空的红色圆点线
ln, = plt.plot([], [], 'ro')
# 初始化函数:设置坐标轴的范围
def init():
ax.set_xlim(0, 20) # 设置x轴的范围为0到20
ax.set_ylim(0, 30000) # 设置y轴的范围为0到30000
return ln, # 返回需要更新的图形元素
# 更新函数:用于每一帧的更新
def update(frame):
xdata.append(frame) # 将当前帧数添加到xdata中
ydata.append(2**frame) # 计算2的frame次方,并添加到ydata中
ln.set_data(xdata, ydata) # 更新线的数据
return ln, # 返回需要更新的图形元素
# 创建动画
# frames参数指定了帧数,即update函数会被调用的次数
# init_func参数指定了初始化函数
# blit参数为True时,仅更新需要更新的部分,提高性能
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=20,
init_func=init, blit=True)
# 保存动画为GIF文件
ani.save('exp.gif')
# 显示图形
plt.show()
动画效果如下所示:
指数级增长在初期,增长可能并不显著,类似于线性增长。然而,随着时间的推移,指数级增长的威力逐渐显现,增长速度显著加快。在投资、股票等领域,这种现象常被比喻为“滚雪球效应”,意味着随着操作的进行,投资者所能获得的收益不断增长。
舍罕王无法兑现的承诺
舍罕王的失算(又称棋盘上的麦粒)也是一个典型的指数级增长问题的例子。舍罕王是古印度的一个国王,他喜欢上了下棋,并且和大臣达依尔下棋时输给了他。达依尔请求国王赏赐他麦子,要求是棋盘的第一个格子放1粒麦子,第二个格子放2粒,第三个格子放4粒,第四个格子放8粒,以此类推,每个格子放的麦子是前一个格子的两倍,直到放满整个64格的棋盘。国王觉得要求很简单,就答应了。但是,当真正开始计算所需的麦子数量时,国王才发现这是一个天文数字,他无法兑现这个承诺。
这个问题可以通过数学公式来解决:
总麦粒数 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(63)
这是一个等比数列的求和问题,其中首项是1,公比是2,项数是64。使用等比数列的求和公式,可以得到:
总麦粒数 = (1 - 2^64) / (1 - 2) = 2^64 - 1
2^64这个数有多大呢?
想象一下,你有足够多的米粒(像沙子那么小)来填满一个标准的足球场,每一粒米都紧紧挨着没有空隙。那么,2^64 粒米将远远超过这个数量,多到几乎无法用我们日常的经验去想象。
具体来说,2^64 等于 18,446,744,073,709,551,616 粒米。这意味着如果你有这么多粒米,你可以:
铺满整个地球表面,并且米粒之间的间距小于人类头发的直径。
给全世界的每个人分配数百万粒米,并且还剩下很多。
用这些米堆起来,其高度将超过地球到月球的距离。
它是计算机能够直接处理的极限大小之一(当然,有更大的数据类型,但 64 位整数是常见的),也是许多算法和数据结构在设计和分析时需要考虑的重要因素。
复利思维
在有限的时间,把有限的精力和财富,持续而反复地投入到某一领域,长期坚持下去,最终产生的积极影响,会如雪球越滚越大,它带来的回报一定超过你的想象。这就是经济学中典型的复利思维。
复利是金融学中的一个重要概念,它描述了一种特殊的利息计算方式,即利息不仅在本金上产生,而且在利息本身上也能产生利息。这种计算方式导致资金随时间呈现指数级增长。
复利的计算公式为:
F=P*(1+i)^n
其中F表示终值,P表示本金,i表示利率,n表示计息期数。
例如,如果你投资了 1000 元,年利率为 5%,投资期限为 3 年,那么根据复利原则,3 年后的最终价值 F 可以这样计算:
F = 1000 * (1 + 0.05)^3 = 1000 * 1.157625 = 1157.63 元
这意味着,3 年后,你的投资将从 1000 元增长到大约 1157.63 元。
在复利计算中,每一期的利息都会计入下一期的本金中,从而产生新的利息。这种计算方式使得资金随时间呈现出指数级的增长趋势。
我们来看这笔投资的动态增长曲线。
从动态曲线图可以看出,投资收益前60年增长缓慢,60年之后出现显著增长。
对编程感兴趣的读者可以尝试使用Python语言来绘制上面的动态曲线,Python代码如下:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 指定默认字体为宋体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用来正常显示负号
# 定义初始参数
principal = 1000 # 本金
rate = 0.05 # 年利率
periods = 100 # 期数(年份)
# 创建一个时间数组
time = np.arange(periods)
# 定义一个函数来计算复利
def compound_interest(principal, rate, time):
return principal * (1 + rate) ** time
# 初始化复利数组
compound_interests = compound_interest(principal, rate, time)
# 创建一个图形和轴
fig, ax = plt.subplots()
# 初始化线条
line, = ax.plot([], [], color='orange',lw=2)
# 初始化函数:设置坐标轴的范围
def init():
ax.set_xlim(0, 100) # 设置x轴的范围为0到20
ax.set_ylim(0, 100000) # 设置y轴的范围为0到30000
return line, # 返回需要更新的图形元素
# 设置轴标签和标题
ax.set_xlabel('投资期限 (年)')
ax.set_ylabel('复利')
ax.set_title('资金随时间呈现出指数级的增长趋势')
# 创建一个更新函数,该函数将在每个动画帧上调用
def update(frame):
# 更新线条的数据
line.set_data(time[:frame], compound_interests[:frame])
# 返回线条和可能需要的任何其他艺术家
return line,
# 创建一个动画
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=periods, init_func=init,interval=200, blit=True)
# 保存动画为GIF文件
ani.save('compound.gif')
# 显示动画
plt.show()
您好,我在这个网站上购买了Python从入门到精通的课程,付费19元,我看到在课程内容中是包括有授课视频的,但是不知道从哪里看随课视频,烦请告知~
您好,有配套视频课程。配套视频课程还没上传。上传视频课程前,网站技术人员还需要对网站进行改进,以支持视频课程的播放。约一周后开始会陆续上传配套视频课程。